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28.01.1983 - 

Die wesentlichen Entscheidungen kann die Maschine dem Ingenieur nicht abnehmen:

Automatische Netzgenerierung bleibt ein Traum

Mit der Methode der Finiten Elemente (FEM) haben Techniker und Ingenieure ein Werkzeug in der Hand, das ihnen komplizierte Konstruktionen einfacher und schneller zu entwickeln hilft und obendrein zu höherer Sicherheit führt. Sei es die Simulation eines Erdbebens oder Tempo 200 mit dem Auto im Windkanal - FEM vermag aufwendige Versuchsbauten zu ersetzen. Doch der Rechenaufwand ist beträchtlich. So warten denn neben Meteorologen und Seismologen auch FEM-Anwender auf preisgünstige Rechnersysteme mit hoher Leistung.

Was passiert, wenn ein Jumbo-Jet auf ein Atomkraftwerk abstürzt? Wie verteilen sich die Abwässer, die in einen See eingeleitet werden? Wie entwickelt sich ein Riß in einem Betontragwerk, wann kommt er zum Stehen und wann wird er gefährlich?

Vor zwanzig Jahren noch hatte man solchen Fragen fast hilflos gegenübergestanden. Heute können diese Probleme auf größeren Computern durchgerechnet und gelöst werden. Das Erstaunliche ist, daß sie alle auf der gleichen Methode basieren: der Methode der Finiten Elemente (FEM).

Das Grundprinzip ist dabei ganz einfach. Jedes Kind kann mit den Bausteinen eines Baukastens komplizierte Gebilde errichten. Die Finite-Elemente-Methode macht sich diese Technik zunutze und baut komplizierte technische Körper wie Flugzeugrümpfe und Kühltürme ebenfalls mit einfachen Bausteinen, den Finiten Elementen, auf.

Dem Flug abgeguckt

Dreiecke, Vierecke oder Quader sind dazu geeignet. Auch das Wasser in einem Kanal oder Hafen denkt man sich zusammengesetzt aus einer Vielzahl kleiner Wasserpakete von einfacher Form. Der große Vorteil der Methode liegt darin, daß der Wissenschaftler oder Ingenieur sich nicht mehr mit dem komplizierten Ausgangsproblem zu beschäftigen braucht. Er beschreibt vielmehr das Verhalten der einfachen Bausteine, das er exakt kennt. Das Zusammensetzen der vielen einfachen Bausteine zu einer Autokarosserie, einem Hafenbecken oder Strömungskanal und die Erarbeitung einer Aussage über ihr technisch interessantes Verhalten überläßt er dem Computer. Denn selbst der fleißigste Ingenieur wäre sonst bei der Lösung auch einfacher Probleme damit sein ganzes Leben lang beschäftigt.

Die Anfänge der Finiten-Elemente-Methode (FEM) gehen zurück auf die späten 40er Jahre, als die Ingenieure bei der Entwicklung gepfeilter Flugzeugtragflächen auf Festigkeitsprobleme stießen, die sie mit den herkömmlichen analytischen Methoden auch näherungsweise nicht mehr lösen konnten. Als einziger Ausweg bot sich damals die Matrizenstatik an, bei der anstelle weniger komplizierter Gleichungen für beispielsweise einen FIugzeugflügel viele einfache Gleichungen für Teile des Flügels gelöst werden müssen.

Die Matrizenmethode war zwar schon in den 20er Jahren entwickelt worden, fand aber keine häufige Anwendung, weil der damit verbundene numerische Rechenaufwand sehr groß ist. Als die ersten Computer auftauchten, wurde die Sache aber plötzlich interessant. Zahlreiche Fachleute begannen, sich mit der Matrizenstatik zu beschäftigen, und ihre Bedeutung nahm schlagartig zu.

Das behelfsmäßige, aber erfolgreiche Vorgehen der Flugzeugbauer wurde dann später vom Stuttgarter Professor J. H. Argyris auf eine solide mathematisch-physikalische Basis gestellt. Heute ist das von Argyris geleitete Institut für Statik und Dynamik (ISD) eines der führenden auf dem Gebiet der FEM.

Die ersten großen Erfolge feierte die Methode in den 60er Jahren bei der Berechnung von Tragwerken. Diese wurden im Computer dargestellt durch ein Ersatzsystem aus Finiten Elementen, welche der effektiven Struktur an Steifigkeit gleichwertig und an ihren Verbindungsstellen über Gleichgewichts- und Verträglichkeitsbedingungen verknüpft waren.

An diesem Ersatzsystem der tatsächlichen Konstruktion wurde die Berechnung so exakt wie möglich ausgeführt. Die Ergebnisse waren so überzeugend, daß die herkömmlichen analytischen Methoden der Festigkeitsberechnung, bei denen komplizierte Differentialgleichungen für ein Kontinuum (nämlich das Baumaterial) nach der Elastizitätstheorie gelöst werden mußten, fast mit einem Schlag passé waren.

Die FEM war nicht nur einfacher und präziser, sondern sie hatte den zusätzlichen Vorteil, daß das Rechenverfahren im Gegensatz zu den herkömmlichen Methoden durch unregelmäßige Randbedingungen und Diskontinuitäten nicht gestört wird.

Die ersten FEM-Programme waren weitgehend auf lineares Tragwerksverhalten beschränkt. Ein gutes Beispiel für Linearität sind Waagen. Verdoppelt man die Last auf der Waagschale, verdoppelt sich auch die Zahl auf der Anzeige. Ähnlich ist es bei linearen Tragwerken: Verdoppelt man ihre Belastung, wird auch die Beanspruchung des Materials verdoppelt.

Nichtlinearität gefürchtet

Viele technische Strukturen verhalten sich wenigstens näherungsweise so, aber bei weitem nicht alle. Vor allem bei großen Belastungen, wie sie in der Praxis bei starkem Wind oder bei Erdbeben vorkommen, ist es mit der Linearität bald zu Ende. Drückt man einen schlanken, etwas krummen Pfeiler einer Montagehalle zusammen, kann eine Verdoppelung der Last eine drei- oder vierfache Steigerung der Materialbeanspruchung mit sich bringen.

Verständlicherweise ist dieser Effekt, die Nichtlinearität, gefürchtet. Für den Ingenieur bedeutet dies zugleich einen erheblichen Mehraufwand, denn er kann nicht mehr von einer Last auf die Materialbeanspruchung bei gesteigerter Last schließen. Erst die enorme Vergrößerung der Leistungsfähigkeit moderner Computer hat es überhaupt möglich gemacht, daß solche Probleme heute im großen Stil angepackt werden können.

Nach bloß zwanzig Jahren ist man heute laut Professor E. Anderheggen von der ETH Zürich so weit, daß die Methode der Finiten Elemente bei allen Problemen anwendbar ist, die sich mit Differentialgleichungen beschreiben lassen. In der Technik ist dies praktisch immer der Fall.

Rechenaufwand stellt FEM-Grenze dar

Doch die Methode hat Grenzen. Schon relativ einfache Probleme wie das Verhalten eines Kühlturms in einem Windsturm führen auf Gleichungssysteme mit mehreren tausend Unbekannten. Die aufwendigsten Berechnungen erfordert die Simulation von Problemen der Flüssigkeitsdynamik. So wurde im letzten Herbst auf einem Supercomputer der NASA ein Raketenflug simuliert, bei dem sich die Wissenschaftler für die Luftwirbel interessierten, die sich knapp unter der Schallgeschwindigkeit um die Rakete herum bilden.

Automatisierte Netzgenerierung

Dabei wurde auf dem Computer ein dreidimensionales Netz mit einer Viertelmillion Punkten durchgerechnet. Nach 18 Stunden, in denen die Maschine 100 Milliarden arithmetische Operationen durchgeführt hatte, war die Aufgabe gelöst. Die Resultate deckten sich sehr genau mit Messungen an der echten Rakete im Windtunnel. Kommentar eines Wissenschaftlers: "Den Windtunnel werden wir in Zukunft nur noch dazu brauchen, um den Computeroutput zu lagern."

Bei der Anwendung der Methode der Finiten Elemente ist aber nicht nur der Rechenaufwand groß, sondern auch die Zeit für die Vorbereitung und das Interpretieren der Resultate. In den Anfangszeiten der FEM-Methode generierten die Ingenieure die Netze "von Hand", berechneten die Koordinaten der Netzpunkte und tippten sie in den Computer ein.

Nach der Berechnung spuckte dieser einen Papierberg von Zahlen aus, deren Interpretation mehrere Stunden oder gar Tage in Anspruch nahm. Die Erfahrung hat gezeigt, daß rund 60 Prozent des zeitlichen Gesamtaufwandes einer FEM-Strukturanalyse auf das Beschreiben des jeweiligen Rechenmodells entfällt, also für die Netzaufbereitung und die Eingabe der statischen und kinematischen Randbedingungen in den Computer. Die restlichen 40 Prozent werden für das Auswerten und das Darstellen der Ergebnisse benötigt.

Auch bei einer Kostenanalyse - unter Berücksichtigung des Kapitalaufwandes für den Kauf oder die Miete von FEM-Programmen sowie der Kosten für die Rechenzeit - ergibt sich, daß der Hauptanteil der Aufwendungen ebenfalls auf das Vorbereiten einer FE-Aufgabe und das Nachbereiten von numerisch ermittelter Information entfällt. Das Rechnen allein kostet bloß etwa 10 Prozent. Heute versucht man deshalb, diese Vor- und Nacharbeiten zu rationalisieren, natürlich wieder auf dem Computer.

Finite Elemente für Laien

Eine große Hilfe bei der Eingabe von Daten ist dabei ein Digitizer, der kontinuierliche Größen in computergerechte digitale Information umsetzt. Seit einiger Zeit wird auch die Entwicklung von Programmen vorangetrieben, die von fremden Benützern möglichst leicht und fehlerfrei verwendet werden können. Damit sind in erster Linie Leute aus der Praxis gemeint, die keine besonderen Computerkenntnisse haben.

An der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich wird seit 1979 das FEM-Programm Flowers entwickelt, mit dem man wenigstens lineare Probleme benutzerfreundlich lösen kann. Flowers ist ein interaktives Programm mit einer speziell konzipierten Eingabesprache, die dem Anwender in kompakter und übersichtlicher Form die vom Computer erwartete Reihenfolge sowie die physikalische Bedeutung der zu spezifizierenden Eingabedaten zeigt. Auch bei der Modellaufbereitung kann ein Präprozessor kräftig mithelfen.

Sie umfaßt eine Blockaufteilung der zu untersuchenden Struktur sowie das Generieren von Elementen, deren Abstände innerhalb der einzelnen Blöcke beliebig gewählt werden können. Dies ermöglicht eine feine Netzgliederung in Bereichen, in denen Spannungskonzentrationen zu erwarten sind.

Beim zweidimensionalen Erfassen einer Struktur besteht das Netzwerk beispielsweise aus Dreieck- oder Viereckelementen. Eine dreidimensionale Struktur kann man aus Quaderelementen oder Pyramiden zusammenfügen. Als Basis für den Netzgenerator dienen dabei orthogonale Rechteck- oder Quaderelemente, die der tatsächlichen Form des Untersuchungsobjekts entsprechend verzerrt werden.

Die vollautomatische Netzgenerierung aus der Konstruktionszeichnung - die ebenfalls auf dem Computer entworfen werden kann - ist allerdings ein Traum, der sich wohl kaum realisieren läßt. Um ein optimales Netz zu finden, muß der Ingenieur nämlich Entscheidungen treffen, die ihm die Maschine nicht abnehmen kann. Es geht dabei im wesentlichen um Vereinfachungen, die für die Berechnungen getroffen werden müssen. Die Maschine könnte ihm dabei aber behilflich sein. Erste Ansätze für solche interaktiven Vorlaufprogramme sind heute vorhanden.

FEM-Raketenfilm

Mit den Programmen für die Auswertung der Ergebnisse, den Nachlaufprogrammen, ist man wesentlich weiter fortgeschritten.

So können zum Beispiel aufgrund von Verformungen verzerrte Netzstrukturen über der zugehörigen unverformten Struktur abgebildet werden und Spannungsverläufe durch Isolinien dargestellt werden. Solche Programme liefern aber nicht bloß Grafiken auf Bildschirm oder Plotter, man kann auch Beträge der Verschiebungen oder Spannungen abrufen, die an einem bestimmten Ort innerhalb einer Struktur auftreten.

Ganz moderne Postprozessoren liefern sogar eine Darstellung des zeitlichen Verlaufs des Geschehens. Im obenerwähnten Simulationsmodell für die Rakete konnten die NASA-Ingenieure den Flugkörper und die Luftwirbel auf einem Farbbildschirm wie in einem Film betrachten, wobei sogar der Blickwinkel noch beliebig wählbar war.

Der nächste Schritt in die Zukunft wären dann Programme, die hinterher dem Ingenieur gleich noch Verbesserungsvorschläge für seine Konstruktion vorschlagen. Mit den Modifikationen in der Konstruktionszeichnung begänne dann das Spiel von neuem, bis er sich zur optimalen Lösung seines Problems vorgetastet hätte.

* Felix Weber, Gockhausen/Schweiz