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19.01.1990 - 

Kybernetik contra Konstanten (Teil 3 und Schluß)

Mit Simulationen lassen sich neue Märkte erkennen

19.01.1990

Von Dr.-Ing. Detlef F. Pape und Dipl.-Informatikerin Heike Luttmann

Graphische Verteilungstests basieren auf dem Ansatz, daß für gewisse Verteilungsklassen Funktionen u der diskreten Dichte f(k) in einer bestimmten Art (zum Beispiel linear oder quadratisch) von k beziehungsweise einer Funktion z(k) abhängen. Ein Scatterplot der Punkte (z(k), u(f(k)) muß in diesem Fall eine bestimmte Kurve (zum Beispiel eine Gerade oder eine Parabel) liefern.

Ein einfaches Prüfverfahren auf die Angemessenheit eines diskreten Modells mit der Dichte f bietet dann ein Plot von u(Pk) gegen z(k), das heißt die theoretische Dichte f(k) wird durch die beobachteten relativen Häufigkeiten Pk von k aus dem vorliegenden Datensatz ersetzt. Wenn die Form der daraus resultierenden Kurve mit der theoretisch hergeleiteten Form übereinstimmt, kann man also annehmen, daß die Zufallsvariable X zufriedenstellend durch die zugrundegelegte Verteilung modelliert werden kann.

Ein spezieller graphischer Verteilungstest ist das Ord-Verfahren, bei dem der Quotient u(k): = (k*fk)/(fk*1) in Abhängigkeit von k betrachtet wird und mit dem man mehrere Verteilungsannahmen gleichzeitig testen kann.

Ein schneller und einfacher Test für einen Datensatz einer diskreten Zufallsvariablen besteht nun darin, die Größe uk: = u(k) gegen k zu plotten - wobei man fk, durch pk ersetzt - und zu prüfen, ob zwischen diesen beiden Größen eine lineare Beziehung besteht.

Falls eine Linearität zwischen k und uk festgestellt werden kann, bedeutet das je nach Steigerung und Achsenabschnitt der angepaßten Geraden die Angemessenheit einer Verteilung nach Binominal- (n,p), Negativ Binominal- (n,p), Poisson-( SYMBOL 108 \f "Symbol"°), oder nach Logarithmusreihen (q,), oder nach einer diskreten Gleichverteilung (n) (siehe Bild 3).

Der Vorteil des Ord-Verfahrens ist die Gültigkeit der linearen Beziehung für die Dichten mehrerer Verteilungen. Man kann deshalb die Angemessenheit verschiedener Modelle gleichzeitig überprüfen und eventuell manche Verteilungen damit gleich im ersten Schritt ausschließen.

Ein Nachteil ist, daß man für die Errechnung der Größe uk auf pk und pk-1 zurückgreifen muß, das heißt ein Ausreißer in den relativen Häufigkeiten beeinflußt gleichzeitig zwei Werte von uk. Eine Möglichkeit, diesen Nachteil etwas auszugleichen, bietet ein "Smoothing" (Glättung), des Plots. Statt uk wird vk: =?(uk + uk + 1) gegen k geplottet und die Varianz der abhängigen Größe damit verringert.

Allen graphischen Verteilungstests sollte sich auf jeden Fall ein Anpassungstest (zum Beispiel ein Kolmogorov-Smirnov oder xE2-Anpassungstest) anschließen, um die Verteilungsannahmen zu bestätigen. Dazu sind allerdings Parameter notwendig, die vorher mit Hilfe anderer Verfahren geschätzt werden müssen.

Angewendet auf die Lieferzeit-Daten des Absatzmarktes liefert das Ord-Verfahren in allen vier Mengenklassen MK1, ..., MK4 Graphiken, die deutlich auf Linearität hinweisen. Beispielhaft sei hier in Bild 4 der Plot für MK2 mit Smoothing aufgeführt. Insgesamt entsprechen alle Geraden ungefähr dem theoretischen Geradenverlauf unter der Logarithmusreihen-Verteilung (vergleiche Bild 3), so daß die Lieferzeiten in den einzelnen Mengenklassen durch diese Verteilung modelliert werden können.

Die diskrete Dichte der Logarithmusreihen-Verteilung (Logarithmic Series Distribution) mit Parameter q lautet: P(x=k) =-f(q:k) = qk/(-k*ln(1.q), k= 1, 2, 3,..., mit 0 < q< 1.

Als Maximum Likelihood-Schätzer für den Parameter q ergeben sich q1 = 0.71, q2 = 0.85, q3 = 0.95 und q4 = 0.96. Als Baustein Beschaffungsmarkt wurden die Daten vor der eigentlichen Analyse des interessierenden Merkmals "Lieferzeit" auf Korrelationen und Saisonabhängigkeit geprüft.

Dazu wurden die durchschnittlichen Lieferzeiten pro Rohmaterial miteinander verglichen und Korrelationskoeffizienten der Merkmale "Bestellmenge"/"Lieferzeit" errechnet. Die durchschnittlichen Lieferzeiten schwanken relativ stark zwischen den einzelnen Rohmaterialsorten, das Maximum liegt bei 20.20 KW, das Minimum bei 7.50 KW. Da die Berechnungen der Durchschnittswerte teilweise auf sehr geringen Anzahlen von Beobachtungen, manchmal nur auf einer einzigen beruhen, soll die Modellierung der Lieferzeitverteilung trotz der beträchtlichen Unterschiede in den Durchschnittswerten für alle Rohmaterialsorten dieselbe sein.

Zwischen der Bestellmenge und der Lieferzeit zeigte sich, wie zu erwarten, eine geringe Positive Korrelation, das heißt die Lieferzeit steigt mit steigender Bestellmenge. Insgesamt sind aber alle erwähnten Korrelationen zu gering, um sie in der Modellierung des Beschaffungsmarktes zu berücksichtigen.

Auch die Forderung der Unabhängigkeit der Daten für das Merkmal "Lieferzeit" ist in diesem Fallbeispiel nicht gewährleistet, denn in dem betrachteten Unternehmen wurden die Rohmaterialien nur zu bestimmten Zeitpunkten in immer gleichen Mengen bestellt, also nicht am Bedarf orientiert. Das hat neben der teilweise mehrjährigen Lagerung des Materials und der damit verbundenen beträchtlichen Kapitalbindung auch zur Folge, daß die Lieferzeiten für zeitgleiche Bestellungen stark korreliert sind.

Da im Simulationsmodell die Bestellungen der einzelnen Sorten an den Rohmaterialmarkt nur bei Bedarf und in einer vom Bedarf abhängigen Menge und nicht, wie in der betrachteten Firma üblich, zu bestimmten Zeitpunkten in immer gleichen Mengen erzeugt werden sollen, wird hier diese mögliche Abhängigkeit nicht weiter untersucht, sondern die Datenreihen als unabhängig angenommen.

Der Saisonfluß wird überprüft mittels einer Zeitreihe, in der die durchschnittlichen Lieferzeiten pro Woche gegen die Zeit geplottet werden. Da die Graphik keine saisonalen Schwankungen erkennen läßt, werden die Daten als saisonunabhängig betrachtet. Es bleibt also die Analyse des Datensatzes für die Lieferzeit einer bekannten diskreten Verteilung, die etwa symmetrisch um den Median beziehungsweise um das Mittel ist.

Das Ord-Verfahren liefert auch hier einen Plot, der deutliche Linearität erkennen läßt (vergleiche Bild 6) und speziell eine negative Binomialverteilung, da die Geraden sowohl eine positive Steigung, als auch einen positiven Achsenabschnitt besitzen (vergleiche Bild 3).

Die diskrete Dichte einer negativen Binomialverteilung mit Parametern n und p lautet P (x = k) = f(n,p;k) = (n + k - 1)/k*pEn*(1- p)Ek k= 0,1,29... . mit 0< p< 1 und n>=1 (n muß keine natürliche Zahl sein).

Als ML-Schätzer für die Parameter n und p ergeben sich n = 7.23 und p = 0.34, so daß die Lieferzeit also angemessen durch eine BE-(7.23, 0.34) Verteilung modelliert werden kann.

Die Ergebnisse der vorliegenden Untersuchung haben zu einer wesentlichen Verbesserung des Know-how des betroffenen Unternehmens über die eigenen Märkte geführt. Erstaunlicherweise konnten sogar einige, seit Jahren als sicher geltende Annahmen über das Kundenverhalten widerlegt werden.

Die Datensätze lassen so zum Beispiel keinen Aufschluß darüber zu, ob eine Saisonabhängigkeit der Bestellungen vorliegt. Daß es trotzdem zu saisonalen Schwankungen des Arbeitsvolumens kommt, liegt nach genauerer Analyse am internen Unternehmensverhalten; die Saison ist hausgemacht. Auch Vermutungen über bestehende durchschnittliche Lieferterminwünsche der Kunden entsprechen nicht der Realität.

Allein diese beiden Beispiele zeigen, wie notwendig eine genaue Analyse der unternehmenseigenen Märkte sein kann. Der neue Informationsstand führt zu einer erheblich sicheren und verbesserten strategischen Planung, wobei auch die Prognosesicherheit über die zukünftige Geschäftsentwicklung zunimmt.

In Verbindung mit dem eingesetzten Simulationsmodell ist es weiterhin möglich, sogenannte "Planspiele" durchzufahren. Nachdem das Simulationsmodell das Wechselspiel zwischen Unternehmen und Märkten gut abbildet, werden einige Parameter auf dem Absatz- und Beschaffungsmarkt verändert, um die sich ergebenden Konsequenzen im Bereich von Durchlaufzeiten, Termintreue, Auslastungsgraden zu untersuchen.

Die Resultate dieser Simulationen führen zur Entwicklung von Strategien, wie sich das Unternehmen auf externe Marktveränderungen einstellen kann, ohne Leistungs- beziehungsweise Umsatzverluste hinnehmen zu müssen (vergleiche Stewing/Pape). Es ist müßig zu erwähnen, daß sich durch eine solche Vorbereitung auf mögliche oder bereits vorhersehbare Marktveränderungen die Wettbewerbssituation von Unternehmen entscheidend verbessern kann.

Es ist geplant, das entwickelte Verfahren bei weiteren Firmen einzusetzen und es eventuell in Form eines PC-Tools einfacher und schneller anwendbar zu gestalten.