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Zwar ist die Mertensche Vermutung widerlegt, doch:

Noch scheitern Rechner an Riemann-Hypothese

01.02.1985

Eines der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik ist die sogenannte Riemannsche Hypothese. Jetzt gelang es zwei Mathematikern, einen Schritt weiterzukommen.

Für die Leute, die diese Hypothese bearbeiten, ist es nach Angaben von Experten ein großer Fortschritt, daß es dank Computerhilfe nun erstmals gelungen ist, die sogenannte "Mertensche Vermutung" zu widerlegen. Denn damit ist nun klar, daß ein bisher für denkbar gehaltener Weg, die Riemannsche Hypothese in den Griff zu bekommen, sicher nicht gangbar ist. Denn wäre nämlich umgekehrt die Mertensche Vermutung richtig, so wäre auch sicherlich Riemanns Hypothese richtig. Die Mertensche Vermutung, die nun von Andrew Odlyzko (Bell Laboratories in Murray Hill/New Jersey) sowie Herman te Riele (Zentrum für Mathematik und Computerwissenschaften in Amsterdam) widerlegt wurde, hat mit der "Möbius-Funktion" zu tun, die folgendes besagt:

Für die Zahl 1 hat die Funktion den Wert 1 und für jede andere ganze Zahl n hat die Funktion dann den Wert 0, wenn in n irgendeine Primzahl zwei- oder mehrfach als Faktor auftritt. Setzt sich n aber nur aus voneinander verschiedenen Primzahlen zusammen, so ist der Wert der Möbius-Funktion dann 1, wenn die Zahl dieser Faktoren gerade ist, und dann -1, wenn die Zahl der Faktoren ungerade ist.

Mit Rechnerhilfe die Vermutung widerlegen

Damit ist der Wert der Möbius-Funktion beispielsweise für n= 12 gleich 0, für n=15 gleich 1 und für n=30 gleich -1. Mertens vermutete nun vor rund 100 Jahren, die Summe aller Terme, angefangen bei n= 1, dürfte für jedes beliebige n niemals größer sein als die Quadratwurzel aus n. Und in der Tat hat man mit viel Mühe im Laufe der Zeit nachweisen können, daß diese Vermutung immerhin für Zahlen bis hinauf zu 10 Milliarden Bestand hat.

Um nun aber ein für allemal Klarheit zu schaffen, schlugen Odlyzko und te Riele einen indirekten Weg zur Widerlegung dieser Vermutung ein; einen Weg, auf dem sie nur mit Hilfe eines leistungsfähigen Rechners und eines neuen schnellen Algorithmus vorankamen. Mit diesem Algorithmus war es ihnen möglich, gewissermaßen eine Art "Durchschnittswert" der gesuchten Summe der Funktionswerte zu finden, wobei es dann vollauf genügte, zu zeigen, daß irgendeiner dieser Durchschnittswerte - die ja immer kleiner

als die eigentliche Summe sind - den Wert der Quadratwurzel aus n überschreitet.

Interessant ist dabei nun, daß die beiden Wissenschaftler mit Hilfe des Rechners zwar in der Tat auf einen Durchschnittswert mit der gesuchten Eigenschaft (also größer als die Wurzel aus n zu sein) stießen, daß sie damit aber noch längst nicht einen konkreten Wert n gefunden haben, der die Mertensche Vermutung ein deutig widerlegt. Sie können nur ihrerseits wieder vermuten, daß das erste (kleinste) n, das die Vermutung Mertens konkret widerlegt, ziemlich groß sein dürfte: etwa 10 hoch 30.

Diese erneute Vermutung ist sogar ziemlich optimistisch, und es kann leicht sein, daß auch sie wiederum widerlegt wird, sollte einmal jemand Zeit, Geld und Computerpower genug zur Verfügung haben, dieses kleinste (Mertens widerlegende) n endlich einmal konkret dingfest zu machen. Denn, so sagen Odlyzko und te Riele, halbwegs genaue Hinweise auf eine Zahl n, die die Mertensche Vermutung widerlegen dürfte, liegen bisher nur in einem einzigen Fall vor. Und die deuten daraufhin, daß jenes n (es muß allerdings nicht das kleinste sein) in der Gegend von 10 hoch 10 hoch 70 angesiedelt sein dürfte. Das aber wäre nun allerdings wirklich viel mehr, als selbst die schnellsten heutigen Rechner auch nur annähernd bewältigen könnten.

-Peter Lange ist Wissenschaftsjournalist in München .